Conhecimento: Função Quadrática

INTRODUÇÃO

Para entender a Função de 2º Grau - importante tema para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, sabe-se que a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo. ·.

Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)

Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura atingida, num determinado instante, por esse projétil (ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo instante, na horizontal (abscissa x) relacionam-se de acordo com a função definida pela sentença y = A.x2 + B.x, na qual A é uma constante que depende do ângulo de tiro, da velocidade vo de lançamento e da aceleração local da gravidade, e B é um valor constante que depende do ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função polinomial do 2º grau ou também conhecida como função quadrática. Esta função tem aplicação em diversos cálculos.

DEFINIÇÃO

Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por:

f(x) = ax2 + bx + c,

onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0.

PROPRIEDADES GRÁFICAS

O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola.

Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)

Observe que o eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. A parábola terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade. Observe isso atentamente agora.

Concavidade da parábola

A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:

a > 0 a < 0

Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):

A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x, 0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2-4ac2a.

Repare que, sendo ∆ = b² – 4ac, podemos ter:

Δ < 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox.
Δ = 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox.
Δ > 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Observe as possibilidades descritas abaixo:

Figura (Foto: Colégio Qi)

INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS):

A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.0² + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, c).